• Végéhez közeledik az Erdős Pál, korszakos jelentőségű magyar matematikus emlékére rendezett óriáskonferencia a Magyar Tudományos Akadémián.
• A világ legjelentősebb matematikusai tisztelegtek Erdős emléke előtt, és osztották meg a közönséggel legfrissebb eredményeiket.
• A konferencián beszélgettünk Pach Jánossal, az MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetének professzorával, az École polytechnique fédérale de Lausanne tanszékvezetőjével Erdősről és magyar matematika helyzetéről.
• Pach gyermekkora óta ismerte Erdőst, aki mindvégig hatással volt a pályájára. Erdős-száma 1, összesen 21 közös publikációjuk van.
• A konferencia alatt és mellett annyi anyag, történet, érdekes dolog gyűlt össze Erdősről és a matematikáról, hogy úgy döntöttünk, két cikket gyúrunk belőle.
• Matektúladagolás a 444-en!!!!444!!!
• Képletek, bizonyítások nem lesznek.
• Ez itt az első cikk, ami kifejezetten Erdős pályájával, legendájával foglalkozik.

“Gratulálok az előadáshoz! A vége különösen jó volt” – állítják meg többen is Pach Jánost az MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézetének lépcsőjén, ahová az Erdős Pál-emlékkonferencia ebédszünetében sétáltunk át. Pach kedd délelőtt tartott előadást (Paul Erdős and the beginnings of geometric graph theory), a befejezés pedig nem egy kivételes bizonyítás, vagy páratlan eredmény volt. Egy képet mutatott, amely a Balaton partján, nyári napsütésben készült. Hajnal András matematikus fürdőnadrágban fekszik a strandon, tűző napon, előtte papír, Erdős eközben nyugágyon ülve töpreng az árnyékban, hosszú nadrágban, ballonkabátba burkolózva. Így dolgoztak Hajnallal.

Ahogy kedden írtuk, ezen a héten jó eséllyel Budapest a világ legokosabb városa. A száz éve született Erdős tiszteletére rendezett konferenciára a számelmélet, a kombinatorika, a halmazelmélet, az approximációelmélet és a valószínűségszámítás legnagyobbjai jöttek el. Erdősre pedig nem csak határtalan elismeréssel, hanem ugyanilyen szeretettel is gondolnak.

“Ember ennyit nem használt a magyar tudomány imázsának”

– mondja róla Pach, a Rényi intézet kutató professzora és a lausanne-i műszaki egyetem Grünwald-, Ford-, Bolyai- és Rényi-díjas professzora. Egyértelműen Erdősnek köszönhető, hogy a diszkrét matematikát ma magyar tudománynak tartják: Szemerédi Endre, Lovász László, Bollobás Béla, Hajnal András és még vagy tucatnyi magyar matematikus tartozik a világélvonalba.

Öt pontban próbáljuk meg bizonyítani, miért ő a magyar tudomány legjobb reklámja.

1. Az eredmények

1521 publikációt és tudományos közlemény maradt utána, ez rekord a XX. században. Leginkább talán a számelmélet és a kombinatorika érdekelte, de komoly eredményeket ért el a matematika szinte minden területén, a halmazelmélettől a valószínűségszámításon át a geometriáig. Számos olyan kérdésssel is foglalkozott, amelyet egy középiskolásnak is el lehet magyarázni. Ezeknek a kérdéseknek a megválaszolásához sokszor forradalmian új matematikai módszereke kidolgozására volt szükség, de olyan szellemes elemi bizonyításai is vannak, amelyet szinte bárki megért.

Elsőéves egyetemistaként igazolta az eredeti levezetésnél egyszerűbben a Csebisev-tételt, vagyis azt, hogy minden 1-nél nagyobb n és 2n között van prímszám, vagyis olyan szám, melynek 1-en és önmagán kívül nincs más osztója. Erdős gyakran tréfálkozott azzal, hogy lennie kell egy Nagy Könyvnek, amelyben benne van az összes szép tétel és bizonyítás, de a könyvet csak halálunk után nézhetjük meg. De ha szerencsénk van, akkor még életünkben kileshetünk belőle néhány sort.

A matematikára jellemző, hogy az igazán nagy eredményeket többnyire fiatalok érik el. Fiatal korában ambiciózusabb az ember, és mivel még kevesebbet tud, rákényszerül, hogy új utakat vágjon, szokatlan módszereket dolgozzon ki. Később, ahogy nő az ismeretanyaga, egyre inkább a rutinmegoldásokra hajlik. Erdős azzal együtt is ellenpéldája ennek, hogy legjobb eredményeit fiatalon érte el, mert egészen 1996-os haláláig aktív maradt, nagy matematikai felfedező, aki folyamatosan új területek meghódítására vállalkozott.

“Nincs elégtétel, ha túl könnyű a tétel”

– mondogatta.

2. Tanítványai

Az említett ballonkabátos kép nem csak a jelenet bája miatt fontos. Ahogy Dosztojevszkij szerint “mindannyian Gogol Köpönyegéből bújtunk ki”, úgy Pach János szerint

ezen a konferencián mindenki Erdős ballonkabátjából bújt elő.

Vagyis a világ mai matematikusélvonalának jelentős része érkezett onnan.

Erdősnek jellemzően nem a hagyományos értelemben vett diákjai voltak. Sokkal inkább partnerei, barátai és szerzőtársai, akikkel állandó levelezésben állt. Többnyire ő adott nekik problémákat, de izgatottan csapott le olyan kérdésekre is, amelyeket tőlük hallott. Sokszor az a néhány óra, amit vele töltöttek, meghatározó lett az életükben. Erdőst sosem érdekelte rang, életkor vagy más egyéb. Csakis a megoldandó feladat. Azonnal egyenlő félként, kollégaként kezelt mindenkit, akivel valamilyen érdekes matematikai problémáról tudott beszélni. Legyen akár a világ egyik legnagyobb tudósa, gimnazista diák vagy kisgyerek. Mindenkivel ugyanazzal a lelkesedéssel ült le problémákat megoldani és újabb kérdéseket felvetni. A konferencián részt vevő Terence Tao, korunk egyik vezető matematikusa tízévesen találkozott először Erdőssel, és máig meghatározónak tartja az együtt töltött néhány órát, amit aztán levelezés és közös munka is követett.

Amíg Erdős élt, a fiatal matematikusok rendszeresen küldtek neki tételeket és bizonyításokat, amelyekről maguk nem tudták eldönteni, hogy új-e. Ő mindig bátorítóan válaszolt; akkor is, ha az eredmény régóta ismert volt. Ilyenkor újabb inspiráló kérdésekkel igyekezett továbblendíteni a munkát.

“Képes volt eggyel nehezebb feladatot adni annál, mint amit eddig csináltál. Megválaszolhatatlan kérdéseket bárki fel tud tenni,ő viszont olyan feladatokat talált ki, amelyek megválaszolása után többet tudunk a világról”

- mondta róla Ronald Graham, Euler-érmes amerikai matematikus akivel évtizedeken át dolgozott. (Ő is itt volt a konferencián.)

Erdősnek ez a barátságossága, közvetlensége nem mindig vált hasznára. Amikor a harmincas években megérkezett a Princeton Egyetemre, az volt a korszak tudományos fellegvára. Az Institute for Advanced Study névre keresztelt kutatóintézetben a világ leghíresebb természettudósai gyűltek össze: Robert Oppenheimer, Albert Einstein, Neumann János, Kurt Gödel és mások. Aki csak az intézet közelébe kerülhetett, úgy érezte, hogy elérte az emberi létezés legfelsőbb fokát.

A harmincas évek végén Princeton nem volt az a liberális hely, mint mostanság. Például még érvényben volt az a rendelet, hogy zsidók és olaszok nem vásárolhattak házat a városban.

És akkor jött egy magyar zsidó, aki nem törődik az előírásokkal, rangokkal, kopogás nélkül ront be a legnagyobb szaktekintélyek szobájába, és mondja a tételeit. Ráadásul nagyon különösen viselkedik: nem érdekli a pénz, a társadalmi pozíció, családja sincs, állást sem akar, egyetemi pozíciót sem. Csodabogárnak, néha komplett hülyének tartották.

Honfitársa, Neumann János kisujját sem mozdította, hogy Erdős ösztöndíját meghosszabbítsák az intézetnél. Pedig matematikusi képességeivel tisztában volt. Az erősen jobboldali, politikai befolyására és társadalmi státuszára igen büszke Neumann egyszerűen nem állhatta a balos, nonkonformista Erdőst.

3. Közös munka

Az Erdős-szám, vagyis annak mérése, hogy ki publikált közösen Erdőssel, legendájának fontos része. Egyszerre érződik ezen a játékosság és a tisztelet. Akik írtak vele közös tanulmányt, azok 1-est kapnak, akik írtak olyannal, aki írt Erdőssel, azok 2-est, és így tovább. Akik sehogyan sem kapcsolódnak ehhez a lánchoz, azoké végtelen.

A michigani Oakland Egyetemen létrehozott Erdős Number Project egy gráffal ábrázolta azoknak a viszonyát, akik dolgoztak már együtt Erdőssel. Mindenkit egy ponttal jelöltek, akik pedig egymással is dolgoztak, azokat is összekötötték. Majd ezt a gráfot elkezdték vizsgálni. Amikor felfedezték, hogy a gráfnak valamilyen érdekes tulajdonságga lenne, ha két eddig különálló pontot össze lehetne kötni, a két matematikus összefogott, és csak ennek kedvéért írtak egy közös tanulmányt.

Ha valaki belépett az MTA Matematikai Kutatóintézetének Reáltanoda utcai épületébe, könnyen megállapíthatta, mikor van Budapesten. Ilyenkor az igazgató ajtaja mindig tárva-nyitva állt, elfoglalta az igazgatói szobát, állandóan telefonált, sürögtek-forogtak körülötte az emberek, és ő, mint egy szimultánt játszó sakkozó, mindenkivel váltott egy-egy mondatot, mindekivel más-más problémáról, de mindig pontosan tudta, melyik párbeszéd, gondolat hol tart éppen – írta róla Pach János.

Erdős élvezte a közös munkát, akár levelezésekben, akár élőben. 504 embernek van 1-es Erdős-száma, vagyis ennyi társszerzővel publikált közösen.

És nem is minden eredményét jegyzik. 1949-ben Princetonban a norvég Atle Selberggel elemi eszközökkel bebizonyították a prímszámtételt. Megegyeztek, hogy közösen publikálják az erdeményt, aztán részletesen közlik, kinek mekkora része volt benne. Erdős képeslapon megírta néhány barátjának az örömhírt, mielőtt megjelent volna a cikk. Selberg nem sokkal később összefutott valakivel, aki kapott képeslapot, de nem ismerte őt, és az illető megkérdezte:

“Hallotta, hogy Erdős és az a hogyishívják professzor pofonegyszerű bizonyítást talált a prímszámtételre?”

Selberg annyira feldühödött ezen, hogy felrúgta a megállapodást, és maga publikálta a cikket. Jelentős részben ezért kapta meg a Fields-érmet 1950-ben.

4. Barátai

Ennek a cikknek is fontos forrása Paul Hoffmann magyarul Prímember címmel megjelent 1998-as Erdős-életrajza. A könyv eredeti címe The Man Who Loved Only Numbers, vagyis “Az ember, aki csak a számokat szerette”. Ez a cím sok barátját felháborította, mert Erdős minden különcsége mellett szeretettel teli, meleg szívű ember volt. Hogyan lett volna több száz, sőt, több ezer barátja egy olyan embernek, aki csak a számokat szereti?

Ha megtudta, hogy egy kollégája, ismerőse bajba került, megbetegett, azonnal próbált a segítségére sietni. Vagyona nem volt, ami pénzt kapott, azt elosztogatta jótékony célokra, tehetséges gyerekek tanítattatására. Ronald Graham visszaemlékszik Jon Folkman amerikai matematikus esetére, akit agydaganat miatt műtöttek. A műtét után Folkman attól rettegett, hogy soha többé nem lesz képes komoly matematikai gondolatokra. Erdős és Graham rendszeresen látogatták, és Erdős szinte az első pillanattól matematikai problémákkal, feladatokkal bombázta, hogy így segítse visszanyerni az önbizalmát. (Folkman ennek ellenére összeomlott, és öngyilkos lett.)

Erdős a szórakozott professzor archetípusa volt. Sokszor szinte az életképtelenségig tehetetlen volt teljesen hétköznapi dolgokban. Például szinte képtelen volt önállóan enni. Életében először akkor vajazott meg egy kenyeret, amikor huszonévesen Angliába utazott. Ennek oka lehetett az is, hogy születésétől egyetlen gyerek volt (két nővére meghalt), édesanyja a széltől is óvta, mindig mindenben kiszolgálták. Barátai szerint lehetséges, hogy kicsit rá is játszott tehetetlenségére. Graham jól emlékszik az esetre, amikor Erdős látványosan a kés életlenebb felével próbálta elvágni kedvenc gyümölcsét, a grépfrútot. Próbálta figyelmeztetni erre, de nem hagyta magát, amikor pedig már a konyha tocsogott a gyümölcs levétől, inkább megcsinálta helyette.

Pach pedig azt a vicces történetet írta le, amikor Erdőssel közös lakásban laktak, és a konyhában egyszer vörös foltokat talált a padlón, amely foltok a hűtőhöz vezettek. Kiderült, hogy Erdős talált egy doboz paradicsomlevet, és úgy látta legjobbnak, ha egy késsel lyukat vág az oldalán, és azon keresztül iszik belőle.

Minden barátja és életrajzírója fontos tulajdonságának tartja, hogy rajongott a gyerekekért. Családja sosem volt, de minden gyerekkel megpróbált azonnal kapcsolatot teremteni. Epszilonoknak hívta őket. (Ezzel a görög betűvel jelölik a matematikusok a kisebb mennyiségeket.) Olyan sok gyerekkel, köztük híressé vált matematikusokkal van közös képe, hogy Lovász László az emlékkonferencián azt javasolta, az Erdős-szám mintájáta be kellene vezetni az “Erdős ölében ülő”-számot is.

5. Személyisége

Mindezek mögött ott volt Erdős jelleme és összetéveszthetetlenül XX. századi története.

Persze, igaz, hogy egész életében ide-oda utazó, nyughatatlan ember volt. Ehhez azonban kellett az is, hogy a harmincas években zsidóként már ne érezze biztonságban magát először Magyarországon, aztán egész Európában. (Sok más kelet-európai zsidó tudós az életével fizetett azért, mert nem volt annyira erős veszélyérzete. Erdős családjából csupán édesanyja és egyik nagynénje élte túl a holokausztot. Szerzőtársa és öt évtizeden át barátja, Turán Pál csak egy matematikushallgató őr segítségével menekült meg.) Baloldalisága és nonkoformizmusa miatt – az FBI-ügynököknek sem volt hajlandó hazudni, pedig tudta, mire megy ki a játék, amikor Marxról kérdezgetik – az Egyesült Államokból is mennie kellett, a kommunistaüldözős McCarthy-korszakban kilenc éven át nem engedték be az országba.

A szórakozott professzor életidegenül egyenes ember volt. Csak hatéves volt, amikor az erősödő antiszemitizmus miatt anyja azt javasolta, meg kellene keresztelkedniük.

“Tégy, ahogy akarsz, de én az maradok, aki voltam.”

Pedig tudható, hogy zsidósága soha nem jelentett sokat a számára.

1973-ban hatvanadik születésnapja alkalmából nagy kombinatorikai konferenciát rendeztek Keszthelyen. Kádárék moszkvai nyomásra kitiltották az izraeli matematikusokat. Erdős állítólag Aczélt, sőt Kádárt is fölhívta, hogy vonják vissza a tilalmat, de nem járt sikerrel. Ekkor úgy döntött, hogy addig nem tér vissza az országba, amíg ez a rendelkezés érvényes. (Végül barátja, Turán Pál halálos betegsége miatt egyszer mégis eljött Budapestre.)

Válaszul Izrael is kitilotta a magyar tudósokat a következő hasonló esetben, és ki volt az első, akit ez érintett? Természetesen Erdős. (Igaz, személyes kapcsolatai révén végül beengedték.)

Negyvenéves korától folyamatosan attól félt, hogy már csak butul. Sokat viccelődött is ezzel. Ezt a sírfeliratot készítette önmagának:

Végre nem butulok tovább.

6. Konklúzió

Az MTA gigakonferenciája, az Erdős Centennial jól mutatja, hogy Erdős életműve, az Erdős-féle matematika ma sokkal jelentősebbnek tűnik, mint akár húsz éve.

Nem véletlen, hogy Szemerédi Endre most, 2012-ben kapta meg a tudományág egyik legfontosabb kitüntését, az Abel-díjat egy negyven évvel ezelőtti bizonyításáért. (Erdős és Turán egy sejtését igazolta.)

Erdőst magát ugyan sosem érdekelte, hogy eredményeit lehet-e bármire használni, ő csak a matematikai, absztrakt szépségnek élt, de ma úgy tűnik, hogy az általa megalapozott diszkrét matematika a számítógéptudomány legfontosabb kutatási területe.

A világ legfontosabb matematika-tanszékein ott ülnek az Erdős-ballonból előbújt tudósok. Magyarok, britek, amerikaiak, ausztrálok.